ch3_场与变分

变分法

对于被积函数 \(L\)，它是系统若干独立变量（coordinate、field amplitudes）以及这些变量对积分参数（速度或场梯度等）的导数的函数。如果变量是\(\varphi_1,\ldots,\varphi_n\)， 参数是 \(x_1,\ldots,x_m\)， 导数是 \(\frac{\partial \varphi_r}{\partial x_s} = \varphi_{rs}\), 那么需要最小化的积分为：

\[ \mathfrak{L}= \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_m}^{b_m} L\!\left( \varphi, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, x \right) \, dx_1 \cdots dx_m \]

通过该函数的最小化（\(\delta \mathfrak{L} = 0\)），我们可以得到控制(governing) \(\varphi\)（作为 \(x\) 的函数）的偏微分方程以及许多其他东西。 这个获得 \(\varphi\) 的过程称为变分法。变分法能够以简洁的方式表达涵盖各种现象的一般原理。

变分积分(variational integral)与欧拉方程(Euler equation)

待最小化（或最大化）积分的被积函数 \(L\) 将被称为系统的 Lagrange density（拉格朗日密度）。它是系统基本参数的函数的函数。对于函数 \(\varphi_r\)，假设改变由项 \(\epsilon \eta_r\) 表示，其中 \(\eta_r\) 是参数的任意函数，\(\epsilon\) 是一个与参数无关的小量。通常使用简写符号 \(\delta \varphi_r\) 来代替 \(\epsilon \eta_r\)，其中 \(\delta \varphi\) 被视为函数 \(\varphi\) 的任意微小变分（variation）。\(\varphi\) 的这种修正也会导致梯度分量 \(\varphi_{rs}\) 的变化。场值的变化：\(\tilde{\varphi}_r = \varphi_r + \epsilon_r \eta_r(x)\), 梯度的变化：\(\tilde{\varphi}_{rs} = \varphi_{rs} + \epsilon_r \frac{\partial \eta_r}{\partial x_s}\)

回顾最基础的二元泰勒展开：

\[f(y + \Delta y, z + \Delta z) \approx f(y, z) + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial f}{\partial z}\Delta z\]

现在把 \(L\) 看作是 \(\varphi\) 和 \(\varphi_{rs}\) 的函数：

\[L(\dots, \varphi_r + \epsilon \eta_r, \varphi_{rs} + \epsilon \frac{\partial \eta_r}{\partial x_s}, \dots) \approx L(\dots) + \underbrace{\frac{\partial L}{\partial \varphi_r} (\epsilon \eta_r)}_{\text{场值贡献}} + \underbrace{\sum_s \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \left(\epsilon \frac{\partial \eta_r}{\partial x_s}\right)}_{\text{梯度贡献}}\]

利用 \(L\) 的泰勒级数展开，我们可以证明，由 \(\varphi\) 的微小变化引起的积分 \(\mathfrak{L}\) 的一阶变化可以写为：

\[\delta \mathfrak{L} = \int_{a_1}^{b_1} \dots \int_{a_m}^{b_m} \sum_{r=1}^{n} \epsilon_r \left[ \frac{\partial L}{\partial \varphi_r} \eta_r + \sum_{s=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \frac{\partial \eta_r}{\partial x_s} \right] dx_1 \dots dx_m\]

我们假设参数的选择使得积分限都是常数，并且所有 \(\eta\) 在这些极限处趋于零。

项 \((\partial L / \partial \varphi_{rs}) (\partial \eta_r / \partial x_s)\) 可以对 \(x_s\) 进行分部积分（integrated by parts），得到：

\[\left[ \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \eta_r \right]_{a_s}^{b_s} - \int_{a_s}^{b_s} \frac{\partial}{\partial x_s} \left( \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \right) \eta_r dx_s\]

第一项为零，因为在 \(a_s\) 和 \(b_s\) 处 \(\eta_r = 0\) 。因此，\(\mathfrak{L}\) 的一阶变分是：

\[\delta \mathfrak{L} = \int_{a_1}^{b_1} \dots \int_{a_m}^{b_m} \sum_{r=1}^{n} \epsilon_r \left[ \frac{\partial L}{\partial \varphi_r} - \sum_{s=1}^{m} \frac{\partial}{\partial x_s} \left( \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \right) \right] \eta_r dx_1 \dots dx_m \quad (3.1.2)\]

（得出 Euler-Lagrange 方程）

为了使 \(\mathfrak{L}\) 取极值（最大值或最小值），必须选择 \(\varphi\) 的函数形式，使得 \(\delta \mathfrak{L}\) 积分中每个 \(\epsilon_r\) 的系数为零。这导致了一组描述 \(\varphi\) 期望行为的方程：

\[\sum_{s=1}^{m} \frac{\partial}{\partial x_s} \left( \frac{\partial L}{\partial \varphi_{rs}} \right) = \frac{\partial L}{\partial \varphi_r}; \quad r = 1, \dots, n \quad (3.1.3)\]

这些用于确定 \(\varphi\) 最佳函数形式的方程被称为 Euler equations（欧拉方程）。

如果系统求极值时（求解 \(\delta \mathfrak{L} = 0\)）有限制条件，比如约束条件为：

\[K_t = \int \dots \int G_t \left( \varphi, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, x \right) dx_1 \dots dx_m = C_t\]

当我们对系统进行变分 \(\varphi \to \varphi + \epsilon \eta\) 时，不仅 \(\mathfrak{L}\) 会变，约束积分 \(K_t\) 也会变。为了满足约束，\(K_t\) 的变分必须为 0。

\[\delta K_t = 0\]

对 \(G_t\) 进行和上面 \(L\) 完全一样的变分和分部积分操作，会得到：

\[\delta K_t = \int \dots \int \sum_{r} \eta_r \left[ \frac{\partial G_t}{\partial \varphi_r} - \sum_{s} \frac{\partial}{\partial x_s} \left( \frac{\partial G_t}{\partial \varphi_{rs}} \right) \right] dx \dots = 0\]

这等价于极值化一个新的泛函 \(\mathfrak{L}'\)：

\[\mathfrak{L}' = \mathfrak{L} + \sum_{t=1}^k \lambda_t K_t\]

其中 \(\lambda_t\) 是待定的常数乘数。

将 \(\mathfrak{L}\) 和 \(K_t\) 的积分表达式代入：

\[\mathfrak{L}' = \int \dots \int \left( L + \sum_{t=1}^k \lambda_t G_t \right) dx_1 \dots dx_m\]

于是：

\[L'(\varphi, \varphi_x, x) = L + \sum_{t=1}^k \lambda_t G_t \quad \]

那么，有 \(m\) 个新的欧拉方程 (Euler equations)，

\[\sum_{s=1}^n \frac{\partial}{\partial x_s} \left( \frac{\partial L'}{\partial \varphi_{rs}} \right) = \frac{\partial L'}{\partial \varphi_r} \]

其中

\[\frac{\partial L'}{\partial \varphi_r} = \underbrace{\frac{\partial L}{\partial \varphi_r}}_{\text{物理源项}} + \underbrace{\sum_{t=1}^k \lambda_t \frac{\partial G_t}{\partial \varphi_r}}_{\text{约束产生的广义力}}\]

\[\frac{\partial L'}{\partial \varphi_r} = \underbrace{\frac{\partial L}{\partial \varphi_r}}_{\text{物理源项}} + \underbrace{\sum_{t=1}^k \lambda_t \frac{\partial G_t}{\partial \varphi_r}}_{\text{约束产生的广义力}}\]