边界条件¶

对应内容
- Methods of theoretical physics, P. M. Morse and H. Feshbach, chapter 6, p676
- Mathematical physics, A modern introduction to its foundations, Sadri Hassani, Part1, ch21, p640

边界条件的意义: 存在大量的可能的解的情况下, 通过指定边界条件, 将问题确定下来。
边界条件的定义: 在PDE 上施加的额外的一组条件 (The additional conditions imposed by the problem, which serve to fix on one particular solution as being appropriate, are called boundary conditions. (Morse, p676))

PDE 分类¶

所有的 scalar field 的 2D PDE 都可以写成如下形式:

\[ A(x, y) \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 2B(x, y) \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} + C(x, y) \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = F\left( x, y, \psi, \frac{\partial \psi}{\partial x}, \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \]

如果该 PDE 是线性的, 那么 \(F\) 满足:

\[ D(x, y) \frac{\partial \psi}{\partial x} + E(x, y) \frac{\partial \psi}{\partial y} + G(x, y) \psi + H(x, y) \]

拥有 \(m\) 个变量的线性的 Second order PDE (SOPDE) 可以有更通用的写法:

\[ \sum_{j, k = 1}^m A_{jk}(\mathbf{x}) \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k} + \sum_{j = 1}^m B_j(\mathbf{x}) \frac{\partial u}{\partial x_j} + C(\mathbf{x}) u = 0, \]

其中 \(A_{ij}\) 是对称矩阵。如果进一步假设 \(A_{ij}\) 是对角矩阵, 那么 PDE 就可以写为:

\[ \sum_{j=1}^m a_j(\mathbf{x}) \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2} + F\left(\mathbf{x}, u, \frac{\partial u}{\partial \mathbf{x}}\right), \]

如果 PDE 在 \(\mathbf{x_0}\) 上, 所有的 \(a_j(\mathbf{x})\) 都是非零且具有相同的符号, 那么 SOPDE 就是 elliptic type 的。
如果 PDE 在 \(\mathbf{x_0}\) 上, 所有的 \(a_j(\mathbf{x})\) 都是非零且不具有相同的符号, 那么 SOPDE 就是 ultrahperbolic type 的; 如果只有一个系数和其它的系数符号都不相同, 那么就是 hyperbolic type。
如果 PDE 在 \(\mathbf{x_0}\) 上, 至少有一个 \(a_j(\mathbf{x})\) 系数为 0, 那么 SOPDE 就是 parabolic type 的.

BC 分类¶

分类方式1:

封闭边界条件 (closed BC): 边界条件完全包围了 solution，在 solution 的所有边界处都添加了约束。(The boundary is closed if it completely surrounds the solution, even if part of the boundary is at infinity. Morse, p678)
开放边界条件 (open BC): 边界延展到无穷远处，并且在这段无穷远的边界上没有施加约束。(The boundary gose to infinity and no boundary conditions are imposed along the part at infinity)

分类方式2 :

Cauchy BC: 在边界处, 既指定了 solution 的 value, 又指定了 solution 的 normal gradient
Dirichlet BC: 在边界处, 只指定了 value
Neumann BC: 在边界处, 只指定了 normal gradient

Cauchy BC 的下属分类: 如果边界线可以参数化, \(x=\xi(s)\), \(y=\eta(s)\), 则 solution field 在边界线上可以表示为 \(\psi(s)\)，并且边界上任意一点的切向量为

\[ \mathbf{a}_t = \mathbf{i} \frac{d\xi}{ds} + \mathbf{j} \frac{d\eta}{ds} \]

法向量为 \(\mathbf{a}_n = \mathbf{a}_t \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} (d\xi/ds)+\mathbf{i} (d\eta/ds)\) 。此时 solution 的 normal gradient 是:

\[ \mathbf{a}_n \cdot \nabla\psi = \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d \eta}{d s} - \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{d \xi}{d s} = N(s) \]

在 Cauchy 边界上, 如果 \(\alpha \psi(s) + \beta N(s) = 0\)，那么边界条件就是齐次的 (homogeneous)；如果 \(\alpha \psi(s) + \beta N(s) = F(s)\)，那么边界条件就是非齐次的 (inhomogeneous)

Cauchy problem 的特征线 (characteristic curve)¶

对于 Cauchy problem, 在边界线附近的一个点 \(\psi(x,y)\), 其值可以根据边界线上的值 \(\psi(\xi, \eta)\) 确定 (using Taylor's series):

\[ \begin{aligned} \psi(x, y) &= \psi(\xi, \eta) + \left[ (x - \xi) \frac{\partial \psi}{\partial x} + (y - \eta) \frac{\partial \psi}{\partial y} \right] +\\ &\frac{1}{2} \left[ (x - \xi)^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 2(x - \xi)(y - \eta) \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} + (y - \eta)^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right] + \dots \end{aligned} \]

我们手上已经有的工具为:

\[ \begin{aligned} N(s) &= \left( \frac{d \eta}{d s} \frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{d \xi}{d s} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) = \mathbf{a}_n \cdot \text{grad} \, \psi, \quad \text{at } x = \xi, y = \eta; \\ \frac{d}{d s} \psi(s) &= \left( \frac{d \xi}{d s} \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{d \eta}{d s} \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) = \mathbf{a}_t \cdot \text{grad} \, \psi, \quad \text{at } x = \xi, y = \eta. \end{aligned} \]

于是有:

\[ \begin{aligned} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)_{\xi, \eta} &= N(s) \left( \frac{d \eta}{d s} \right) + \left( \frac{d \xi}{d s} \right) \left( \frac{\partial \psi}{\partial s} \right) = p(s); \\ \left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right)_{\xi, \eta} &= \left( \frac{d \eta}{d s} \right) \left( \frac{\partial \psi}{\partial s} \right) - \left( \frac{d \xi}{d s} \right) N(s) = q(s). \end{aligned} \]

因为上式系数的行列式为 \(\left( \frac{d \xi}{d s} \right)^2 + \left( \frac{d \eta}{d s} \right)^2 = 1\), 因此上式总是有解。于是，考虑到 PDE 自身，有如下三个方程:

\[ \begin{aligned} \left( \frac{d \xi}{d s} \right) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) + \left( \frac{d \eta}{d s} \right) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} \right) &= \frac{d p}{d s}, \\ \left( \frac{d \xi}{d s} \right) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} \right) + \left( \frac{d \eta}{d s} \right) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) &= \frac{d q}{d s}, \\ A(s) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) + 2B(s) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} \right) + C(s) \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) &= F(s). \end{aligned} \]

只有当以上方程组的 \(\Delta \neq 0\), 在边界线附近解才是收敛的, 对应于 Cauchy condition 是成立的。\(\Delta\) 的表达式为:

\[ \Delta = \begin{vmatrix} \frac{d \xi}{d s} & \frac{d \eta}{d s} & 0 \\ 0 & \frac{d \xi}{d s} & \frac{d \eta}{d s} \\ A & 2B & C \end{vmatrix} = C \left( \frac{d \xi}{d s} \right)^2 - 2B \left( \frac{d \xi}{d s} \frac{d \eta}{d s} \right) + A \left( \frac{d \eta}{d s} \right)^2 \]

\(\Delta = 0\) 定义了 Cauchy problem 的特征线 (characteristic curve), 也是 PDE 的特征线:

\[ C(x, y) (dx)^2 - 2B(x, y) \, dx \, dy + A(x, y) (dy)^2 = 0 \]

特征线也有以下等效的表达式:

\[ A \, dy = \left( B + \sqrt{B^2 - A C} \right) dx; \quad A \, dy = \left( B - \sqrt{B^2 - A C} \right) dx \]

或者

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{B \pm \sqrt{B^2 - A C}}{A} \]

如果特征线与边界线重合, 则 Cauchy BC 将不能指定一个唯一的解; 如果特征线只与每条特征线相交一次, 那么 Cauchy BC 就是成立的。

如果 \(B^2 -A C >0\)，对应于双曲方程, 说明给定 Cauchy BC, 解可以沿着特征线传播, 此时解具有波动的性质，具有两条特征线, 对应时间方向上, 需要给定初值和速度
如果 \(B^2 - A C < 0\)，对应于椭圆方程, PDE 方程不存在特征线, 此时扰动不沿着特定的线传播，而是向空间中所有方向传播，边值会影响整个domain，解是光滑的 (harmonic)
如果 \(B^2 - A C = 0\)，对应于抛物方程，只有一条退化了的特征线，对应在时间方向上，只需要设置一组边界条件 (初值)，time-evolution equation with a smoothing (diffusive) effect

对边界条件的要求¶

The following correspondences exist between SOPDEs with \(m\) variables and their appropriate BCs:

Elliptic SOPDE ↔ Dirichlet or Neumann BCs on a closed hypersurface.
Hyperbolic SOPDE ↔ Cauchy data on an open hypersurface.
Parabolic SOPDE ↔ Dirichlet or Neumann BCs on an open hypersurface.

hypersurface: 就是边界线。\(m\) 个变量对应于 \(m-1\) 维的 hypersurface. 比如对于 \((x,y)\) 面上的椭圆问题, hypersurface 就是包围计算域的线。对于 \((x,t)\) 面的抛物/双曲问题, hypersurface 就是 \(t=0\) 时对应的 x 这条线。