sissa01_Lax_Milgram¶
prototypical problem of PDE¶
假设 \(\Omega\) 是 Lipschitz (典例: 具有有界的一阶导数。在 FEM 中，说 domain is Lipschitz, 意味着 \(\partial\Omega\) 满足 Lipschitz 连续性条件，边界不过于尖锐或过于陡峭), bounded，并且是 subset of \(\mathbb{R}^d\)。
典型问题是 elliptic problem. $$ -\Delta u = f \quad \text{in} \quad \Omega \ u = 0 \quad \text{on} \quad \partial \Omega $$ 上式可以表示为 weak form. \(-\Delta\) 可以视为 a weak derivative operator on a Hilbert space。这里相当于把 Laplace operator 的经典定义 \(-\Delta = -\sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}\) 更改为了弱形式的定义。
弱形式的视角中，\(-\Delta\) 可以被视作一种映射 \(A: V \rightarrow V^\prime\), 将 \(V\) (\(V\) is Hilbert. FEM 中 Hilbert 的意思是该空间有以下性质, 1. 向量空间，空间中定义了加法和数乘。2. 内积空间，空间定义了内积，并且内积运算是线性的，可交换顺序的，正定的 \((u,u)\geq0\)。3. 完备性。意味着任何在 \(V\) 中的 Cauchy 序列，即一组元素之间的距离随着序列的增加而趋近于零，都会收敛到 \(V\) 中的某个元素) 映射为其对偶空间 (在对偶空间中，每个元素 \(f\in V^\prime\) 都是一个线性泛函，作用于 \(V\) 中的函数 \(u\)，并返回一个数值)。
于是 $$ A u = F \quad \text{in} \quad V^\prime $$ 这里 \(Au\) 是 \(V^\prime\) 中的一个 linear operator (linear functional: \(V \rightarrow \mathbb{R}\)). 上式也等价于 $$ \langle Au, v\rangle = \langle F,v\rangle \quad \forall \quad v \in V $$
duality opertor \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 定义为 $$ \langle Au, v\rangle \coloneqq \int_\Omega Au v $$
所以典型的 FEM 流程是:
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replace the space \(V\) (infinite dimensional, Hilbert) with \(V_h\) (finite dimensional)。\(V_h = \text{span}\{v_i\}_{i=1}^{n}\)，所以 \(\forall u_h\), 存在一个矢量, \(\exists \{u^i\}_{i=1}^n \in \mathbb{R}^n\), s.t. \(u_h(x)=u^iv_i (x)\)
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\(A u = F \quad \text{in} \quad V^\prime\) 替换为 \(A u_h = F \quad \text{in} \quad V^\prime_h\) ，得到 \(\langle Au_h, v_h\rangle = \int_\Omega Au_h v_h, \quad \forall v_h\in V_h\)
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矩阵化。\(\langle A v_j u^j, v_i\rangle=\langle F, v_i\rangle\), \(i=1,2,...,n\)。所以有 \(\mathbb{A}_{ij} u^j = \mathbb{F}_i\), 其中 \(\mathbb{A}_{ij}\coloneqq \langle Av_j,v_i \rangle\), \(\mathbb{F}_{i}\coloneqq \langle F,v_i \rangle\)
Lax-Milgram lemma¶
Lax-Milgram 引理主要说明了线性变分问题在满足一定条件下存在唯一的解。具体而言，它确保了当双线性形式满足连续性和强制性（coercivity）条件时，弱形式（变分形式）的线性偏微分方程在所选的 Hilbert 空间中具有唯一解。
Assume \(V\) is Hilbert with norm \(\lVert \cdot \rVert_V\), and assume \(a\) is a bilinear operator on \(V\) $$ a: V\times V \rightarrow \mathbb{R} \ a(u,v) \coloneqq \langle Au, v\rangle $$ with \(a(u,v)\leq \lVert A \rVert \lVert u \rVert \lVert v \rVert, \quad \forall u,v\in V\) (连续性条件)
并且有 \(a(u,u)\geq \alpha \lVert u\rVert^2\), assuming \(\exists \alpha\in \mathbb{R}, \alpha > 0\). (强制性条件)
在以上两个条件下，Lax-Milgram 引理保证了：
解的存在性：变分问题有解，即存在 \(u\in V\) 满足 \(a(u,v)=F(v)=\langle Au, v\rangle = \langle F,v\rangle\)。
解的唯一性。
并且 $$ |u| \leqslant \frac{1}{\alpha}|F|_* $$
