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dealii-01: 概况

善用手册

这里 是 dealii 手册的 main page. main page 下面细分很多栏目:

  • Tutorial: 它通常不会讨论具体函数的参数细节，而是旨在提供事物如何协同工作的整体概念
  • Topics: 文档处于中间层次，它为某个特定领域的内容提供了概述。例如，当你想了解有哪些有限元类时，可以查阅 Finite element space descriptions 主题。当然，主题也与手册和教程相互链接。如果你点击一个类名，比如 Triangulation，你会在类名下方的顶部找到链接，点击后可以了解该类所属主题的更多信息。
  • Classes: 当你知道自己想做什么，但忘记了函数的具体名称、参数或者返回值时需要查阅的地方。它提供的是细致入微的视角，而不会告诉你某个函数如何在整体框架中发挥作用。
  • FAQ: 盖了许多关于 deal.II 特定方面的问题，也包括更一般的问题，例如“如何调试科学计算代码？”或“我能否通过训练让自己写出更少错误的代码？”
  • user group: 用户提问, 以及开发者发布声明的地方
  • github issures: github 仓库中的 issue 界面
  • publications: 用到了 dealii 的出版物
  • code gallery: 代码库是教程的延伸，程序的目的是展示如何使用 deal.II 实现应用程序，但不要求这些代码像教程中那样进行详细的注释和文档说明

概况

  • 这里 是dealii 的 main page 以及概况

  1. 网格生成（Triangulation 类）

    • 类：Triangulation Triangulation 类负责创建和管理表示计算域的网格。这个网格由单元（二维的三角形，三维的四面体）组成，Triangulation 是单元及其低维边界对象的集合。Triangulation 存储网格的几何和拓扑属性：单元如何连接及其顶点的位置。在二维中，它只知道单元有 4 条边（线）和 4 个顶点（在三维中，它有 6 个面（四边形）、12 条边和 8 个顶点），其他所有内容都由映射类定义。 通常通过对所有单元的循环，可能会查询每个单元的所有面，来获取 Triangulation 的属性和数据。因此，网格的大部分信息都隐藏在迭代器后面，即类似指针的结构，可以从一个单元迭代到下一个单元，并且可以获取它当前指向的单元的信息。
    • 关键作用：定义几何形状和网格结构，用于在其上求解 PDE。

  2. 有限元空间（FiniteElement 类）

    • 类：FiniteElement FiniteElement 类定义了解将在其上逼近的有限元空间。它指定在每个网格单元上使用的基函数类型，例如 Lagrange 元，以及函数在单元之间是否连续或不连续。
    • 关键作用：定义基函数和每个单元上的自由度（DoFs）。

  3. 自由度处理器（DoFHandler 类）

    • 类：DoFHandler DoFHandler 类负责在网格上分配自由度（DoFs）。它将每个网格单元与适当数量的自由度相关联，并连接相邻的单元。与 Triangulation 对象类似，大多数对 DoFHandler 的操作是通过遍历所有单元并对每个或部分单元执行某些操作。因此，这两个类的接口非常相似：它们允许获取指向第一个和最后一个单元（或面，或线等）的迭代器，并通过这些迭代器提供信息。通过这些迭代器可以获取的信息包括几何和拓扑信息（这些信息实际上可以通过 Triangulation 迭代器获取，因为它们实际上是派生类）以及诸如当前单元上自由度的全局编号等信息。值得注意的是，与 Triangulations 类似，DoFHandler 类并不知道从单位单元到其各自单元的映射。

    • 关键作用：管理自由度的分布，使得能够组装系统矩阵和向量。

  4. 映射（坐标变换）

    • 类：Mapping Mapping 类处理参考单元（标准的单位单元，例如单位正方形或立方体）和物理单元（实际域中的单元）之间的变换。在复杂几何或曲线网格中，映射确保基函数及其导数在物理空间中正确表示。
      • MappingQ1：用于直边单元的线性映射。
      • MappingQ：用于曲边单元的高阶映射。
    • 关键作用：通过参考单元和物理单元之间的转换，确保在物理域上准确执行积分和计算。

  5. 求积（数值积分）

    • 类：Quadrature Quadrature 类定义了用于计算单元或边界上积分的数值积分点。这些积分点对于组装 PDE 的弱形式的系统是必要的，其中涉及基函数的积分。
    • 关键作用：在每个网格单元上提供弱形式的准确数值积分。

  6. 边界条件

    • 类：AffineConstraints 边界条件是通过 AffineConstraints 类来指定的，它负责在解上强制执行 Dirichlet（固定值）或 Neumann（固定通量）边界条件。这些条件在域的特定边界位置应用。
    • 关键作用：在解上强制执行边界条件，确保问题设定正确。

  7. 系统矩阵和向量的组装

    • 类：SparseMatrix, Vector 系统方程是通过计算刚度矩阵和载荷向量来组装的。这个过程使用有限元基函数、求积点和自由度来离散化 PDE 的弱形式。
    • 关键作用：SparseMatrix 保存系统矩阵，Vector 保存右端项（RHS）和解向量。

  8. 求解器

    • 类：SolverControl 和 SolverCG（共轭梯度求解器） 在组装系统方程之后，使用求解器来求解线性或非线性系统。SolverCG（共轭梯度法）是用于对称正定系统的常用求解器之一。其他求解器如 GMRES 或直接求解器也可用。
    • 关键作用：求解系统方程，得到解向量。

  9. 预处理

    • 类：PreconditionSSOR, PreconditionAMG 为了加快迭代求解器的收敛速度，通常使用预处理器。像 SSOR（对称逐次超松弛）或 AMG（代数多重网格）这样的预处理器可以改善系统的条件性，从而更容易求解。
    • 关键作用：提高迭代求解器的效率和收敛速度。

  10. 后处理和可视化

    • 类：DataOut 一旦获得解，通常需要可视化或分析结果。DataOut 类允许将解数据导出为兼容可视化工具（如 ParaView 或 Visit）的格式。
    • 关键作用：输出解数据用于后处理和可视化。

关键组件总结：

  • Triangulation：管理网格结构。
  • FiniteElement：定义用于近似解的基函数。
  • DoFHandler：管理网格上的自由度分配和连接。
  • Mapping：处理参考单元与物理单元之间的转换，确保计算准确。
  • Quadrature：提供数值积分规则。
  • AffineConstraints：强制执行边界条件。
  • SparseMatrix/Vector：组装系统方程。
  • Solver：求解系统方程。
  • Preconditioner：加速求解器收敛。
  • DataOut：输出解数据，用于可视化和分析。

注:

Manifold: Manifolds 描述了单元的形状，以及更一般地描述了解方程的域的几何形状。它们使用微分几何的语言。

安装

官网教程

把仓库克隆到本地后:

$ make dir build
$ cd build/
$ cmake -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=../install/ ../
$ make install    (alternatively $ make -j<N> install)
$ make test

最佳安装方法

最佳安装 dealii 的方法是通过 candi, 根据脚本中的指令一步步做即可, 并且自带 hdf5, petsc 等常用的库

spack install gcc@12.4.0
spack find gcc
spack compiler find  /lvdata/lvymma/libs/spack/opt/spack/linux-gentoo2-skylake_avx512/gcc-14.2.1/gcc-12.4.0-awngivve2xp4cclgk64r62s3eod3he3z/bin
spack install -j48 openmpi@4.1.2 %gcc@12.4.0
spack install -j48 boost@1.80.0 %gcc@12.4.0

export MPI_DIR=$(spack location -i openmpi)
export MPI_BIN=$MPI_DIR/bin
export MPI_INCLUDE=$MPI_DIR/include
export MPI_LIB=$MPI_DIR/lib

export PATH=$MPI_BIN:$PATH
export LD_LIBRARY_PATH=$MPI_LIB:$LD_LIBRARY_PATH
export CPATH=$MPI_INCLUDE:$CPATH
export LIBRARY_PATH=$MPI_LIB:$LIBRARY_PATH

export FC=mpifort
export F77=mpifort

export CC=mpicc
export CXX=mpicxx

./candi.sh -p "/home/ymma/lvdata/libs/dealii/candiinstall/" -j8 --platform=./deal.II-toolchain/platforms/supported/linux_cluster.platform

使用时:

spack install assimp %gcc@12.4.0  # gentoo容易报各种 ABI 的错
spack load assimp@5.4.3 
spack load gcc@12.4.0
spack load openmpi@4.1.2

安装包含 hdf5 的 dealii (deprecated)

官网教程直接安装的版本是不支持 hdf5 的。

要想安装支持 hdf5 的 dealii，需要一些额外操作。因为我是在服务器上安装使用 dealii，没有管理员权限，所以包管理一律使用 spack.

注意, 一定要用支持并行的 hdf5!

spack install openmpi
spack install hdf5 +mpi ^openmpi

然后安装 dealii (修改 HDF5_DIR):

mkdir build

cd build


cmake -DDEAL_II_WITH_HDF5=ON -DHDF5_DIR=/lvdata/lvymma/libs/spack/opt/spack/linux-gentoo2-skylake_avx512/gcc-14.2.1/hdf5-1.14.5-2om2qfs3555lj6ltdjqsllbp2777ns4g/ -DDEAL_II_WITH_MPI=ON -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=/home/ymma/lvdata/libs/dealii/install/ ../

make -j xxx

make install

make test

一般来说，这样就已经解决问题了。如果还有问题 ...

如果在编译 dealii 的时候还是不行的话 (cmake 顺利, make 的时候报一些关于 mpi 的错)，要注意 LD_LIBRARY_PATH 里面是不是混入了别的 openmpi (与编译并行 hdf5 版本不对应的 mpi)，是否需要 module unload ... 避免别的 mpi 给编译 dealii 算例带来问题。dealii 可以像下面这样强行指定CMAKE_C_COMPILER，和 CMAKE_CXX_COMPILER，但似乎也不从本质上解决问题。总之还是要注意当前环境中不能有别的 mpi，可以用 ldd step-4.out | mpi 这样的命令检查下。

cmake -B build \ 
-DCMAKE_C_COMPILER=/lvdata/lvymma/libs/spack/opt/spack/linux-gentoo2-skylake_avx512/gcc-14.2.1/openmpi-5.0.6-nqvoe2royloyhsnjelv2tx4d3i2tu2mv/bin/mpicc \
-DCMAKE_CXX_COMPILER=/lvdata/lvymma/libs/spack/opt/spack/linux-gentoo2-skylake_avx512/gcc-14.2.1/openmpi-5.0.6-nqvoe2royloyhsnjelv2tx4d3i2tu2mv/bin/mpicxx